FFT trong mô phỏng tín hiệu: cửa sổ Hann, bin tần số và thang dB

FFT là gì và phổ tần số biểu diễn điều gì?

Biến đổi Fourier rời rạc phân tích một dãy N mẫu thành tổng các dao động phức tại những tần số rời rạc. FFT là họ thuật toán tính DFT nhanh hơn, không phải một phép biến đổi khác. Miền thời gian cho biết tín hiệu biến thiên theo từng mẫu; miền tần số cho biết biên độ và pha của các thành phần sin–cos tạo nên đoạn tín hiệu đó. Nhờ FFT, một dạng sóng phức có thể được đọc thành sóng mang, hài, dải biên và nền nhiễu.

Với tần số lấy mẫu Fs, các bin cách nhau Δf = Fs/N và dải quan sát không nhập nhằng chỉ đến tần số Nyquist Fs/2. Đối với tín hiệu thực, phổ âm và dương đối xứng liên hợp nên có thể dùng rFFT để tạo phổ một phía. Mỗi điểm trên trục phải được sinh từ đúng Fs và N; nếu vẽ các đỉnh bằng hàm minh họa độc lập với mẫu tín hiệu, đồ thị đó không phải kết quả FFT.

Rò rỉ phổ và nguyên lý của cửa sổ Hann

DFT ngầm giả định đoạn N mẫu được lặp vô hạn. Nếu số chu kỳ trong cửa sổ không nguyên, điểm cuối không nối liên tục với điểm đầu và bước nhảy tại biên lan năng lượng của một tone sang nhiều bin. Hiện tượng này gọi là rò rỉ phổ. Nó không phải nhiễu của thuật toán mà là hệ quả của việc quan sát tín hiệu trong một khoảng thời gian hữu hạn.

Cửa sổ Hann nhân đoạn mẫu với một đường cosin nâng để biên giảm dần về gần 0, làm nhỏ các thùy phụ và giúp nhìn thấy tín hiệu yếu cạnh một tone mạnh. Đổi lại, thùy chính rộng hơn và biên độ đỉnh bị suy giảm theo coherent gain. Vì vậy phải chuẩn hóa bằng tổng hệ số cửa sổ nếu muốn ước lượng biên độ. Không có cửa sổ tốt nhất cho mọi bài toán: rectangular cho độ rộng thùy chính hẹp, Hann cân bằng phổ biến, còn flat-top ưu tiên độ chính xác biên độ.

Quy trình tính phổ đúng hoạt động ra sao?

Một chuỗi xử lý điển hình gồm chọn N mẫu, loại giá trị trung bình khi không quan tâm DC, nhân cửa sổ, thực hiện rFFT, lấy độ lớn phức và chuẩn hóa. Với phổ biên độ một phía, các bin không phải DC và Nyquist thường được nhân đôi để bù phần phổ âm đã bỏ. Sau đó biên độ có thể đổi sang dB bằng 20log10(A/Aref); phổ công suất dùng 10log10(P/Pref). Một sàn epsilon nhỏ ngăn log(0).

Zero-padding bổ sung các mẫu 0 trước FFT để tạo nhiều điểm nội suy hơn trên đường phổ; nó giúp đọc vị trí đỉnh mượt nhưng không tăng độ phân giải vật lý vốn do thời gian quan sát quyết định. Khi cần ước lượng mật độ phổ công suất trong nhiễu, phương pháp Welch chia dữ liệu thành các đoạn chồng lấp, cửa sổ từng đoạn rồi trung bình periodogram để giảm phương sai.

• Ghi rõ Fs, N, loại cửa sổ, cách chuẩn hóa và đơn vị trục dB.
• Phân biệt phổ biên độ, phổ công suất và mật độ phổ công suất.
• Kiểm thử bằng tone đúng bin, tone lệch bin, hai tone gần nhau và nhiễu trắng.

Ứng dụng thực tế của FFT

FFT được dùng để đo tần số và hài của dao động, xem băng thông tín hiệu điều chế, phát hiện spurious, phân tích rung động máy, xử lý âm thanh, radar, OFDM và phân tích kênh bên. Trong mô phỏng AM, hai dải biên phải xuất hiện quanh sóng mang; với FM, số và mức dải biên thay đổi theo chỉ số điều chế; với SCA, phổ giúp nhận biết nhiễu đồng hồ hoặc băng tần mang thông tin trước khi thiết kế bộ lọc.

Một phổ đẹp vẫn có thể sai nếu aliasing, clipping hoặc thang dB không đúng. Trước khi diễn giải, cần kiểm tra điều kiện Nyquist, dải động ADC, số mẫu và cách ghép cửa sổ. Khi so sánh hai lần đo, mọi tham số xử lý phải giữ nguyên. FFT là công cụ định lượng mạnh chỉ khi chuỗi lấy mẫu và chuẩn hóa được mô tả đủ để người khác tái tạo.